如何判断级数收敛还是发散

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要判断级数是否收敛，我们需要观察其部分和或者部分和的极限。如果一个级数的部分和随着项数的增加而无限增大或减小，那么这个级数就是发散的。反之，如果级数的部分和趋于一个固定的值，那么这个级数就是收敛的。例如，考虑级数：$$\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{n^2}$$我们可以计算前几项的部分和：$$S_1 = \\frac{1}{1^2} + \\frac{1}{2^2} + \\frac{1}{3^2} + \\cdots$$$$S_2 = \\frac{1}{1^2} + \\frac{1}{2^2} + \\frac{1}{3^2} + \\frac{1}{4^2} + \\cdots$$我们可以看到，$S_1$ 是 $\\frac{1}{1^2}$ 加上 $\\frac{1}{2^2}$ 再减去 $\\frac{1}{3^2}$，而 $S_2$ 是 $S_1$ 再加上 $\\frac{1}{4^2}$ 再减去 $\\frac{1}{5^2}$，以此类推。可以看出，$S_1$ 和 $S_2$ 都是无穷大，所以级数 $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{n^2}$ 是发散的。另一个例子，考虑级数：$$\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{n(n+1)}$$我们可以计算前几项的部分和：$$S_1 = \\frac{1}{1 \\cdot 2} + \\frac{1}{2 \\cdot 3} + \\frac{1}{3 \\cdot 4} + \\cdots$$$$S_2 = \\frac{1}{1 \\cdot 2} + \\frac{1}{2 \\cdot 3} + \\frac{1}{3 \\cdot 4} + \\cdots$$我们可以看到，$S_1$ 是 $\\frac{1}{1}$ 加上 $\\frac{1}{2}$ 再减去 $\\frac{1}{3}$，而 $S_2$ 是 $S_1$ 再加上 $\\frac{1}{4}$ 再减去 $\\frac{1}{5}$，以此类推。可以看出，$S_1$ 和 $S_2$ 都是无穷小，所以级数 $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{n(n+1)}$ 是收敛的。

发布于 2025-03-26 18:06 回复