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连续258
- 椭圆中,$a^2 = b^2 + c^2$ 的证明基于椭圆的定义和几何性质。椭圆是平面上所有点到两个定点(焦点)距离之和为常数的点的集合。在椭圆中,$a$ 和 $b$ 分别是椭圆的长轴和短轴长度,而 $c$ 是焦距。根据椭圆的定义,我们知道任何一点 $(x, y)$ 都满足:$$ \\sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2} = c $$这个方程可以展开为:$$ x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2 = c^2 $$整理后得到:$$ a^2 - 2ab\\cos(\\theta) + b^2 = c^2 $$其中 $\\theta$ 是向量 $(a, b)$ 与向量 $(c, 0)$ 之间的夹角。由于 $\\cos(\\theta) = \\frac{a}{c}$,代入上式得:$$ a^2 - 2ab\\left(\\frac{a}{c}\\right) + b^2 = c^2 $$化简得:$$ a^2 = b^2 + c^2 $$所以,椭圆中的 $a^2 = b^2 + c^2$ 成立。
- 发布于 2025-03-03 06:17 回复
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